2005年全国高中数学联赛试题及解答.pdf

这个【2005年全国高中数学联赛试题及解答】资料是【鼠标】提供的，文档总共有【20】页，用户能够免费在线浏览，若想获取更多关于【2005年全国高中数学联赛试题及解答】的信息，可以利用淘豆网的站内检索服务，挑选符合需求的资料，文中展示的是该文档的部分内容，如需得到完整电子档，请将其下载到个人设备上，这样便于修改和复印。 : .

2005 年全国高中数学联赛试题及详细解析

说明：

批改试卷务必参照此评分准则，单项选择题仅设6分与0分两个等级，填空题仅设9分与0分两个等级，其余题目均不评分，所有评判均需严格遵循该标准执行。

每道题目的评分，务必依照本评分标准所设定的评分等级进行打分，不可增设其它额外的评分层级。

假如应试者的解题途径与这个解答不一样，只要思考合乎逻辑、环节无误，在批改分数时能够参照这个评分准则适当

划分档次评分，5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分）

这道题目总共包含六个分项，每个分项都列出了A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是准确的，其余选项均为错误选项。需要选出正确的选项作为答案。

填出对应题目的字母在括号里，每道小题答对就能得6分；如果没选，选不对，或者选出的字母数量超过一个（不管是不是写在前面）

括号内），一律得 0 分。

关于 x 的不等式 x-3 加上 6 减去 x 的立方大于等于 k 有解的实数 k 的最大值是（ ）

六减去三等于三,三等于六加上三,六等于六

空间中存在四点 A、B、C、D, 其中线段 AB 的长度为 3, 线段 BC 的长度为 7, 线段 CD 的长度为 11, 线段 DA 的长度为 9, 那么 AC 与 BD 的乘积取值

（）

A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个

a1 a2 a3 a4

集合等于零,一,二,三,四,五,六,集合M包含所有满足条件a属于集合T,且i等于一,二,三,四的元素的和,需要将集合M中的元素按照数值从高到低的顺序排列

7 777i

1  : .

顺序排列，则第2005 个数是（）

5 5635 562

A．首先加上两个，接着加上三个，然后加上四个B．首先加上两个，接着加上三个，然后加上四个

7 7777 777

1 1041 103

C和D，再加上2，再加上3，再加上4

7 7777 777

二、填空题（本题满分54 分，每小题 9 分）

本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。

这个多项式 也可以表示为 关于 的多项式

xf x 等于 负 x 加上 x 减去 x 再加上 L 减去 x ，接着 xyg y 等于

这个数等于另一个数减去第一个数, 再加上第三个数, 然后整体结果还要乘以一个特定的数值。

一个数字是a0, 另一个数字是a1y, 第三个数字是a2y, 接着是L, 然后是a19ya20yy, 再来是xa0, 接着是a1, 然后又是L, 最后是a20

某个函数是限定在正数区间且不包括零的递减函数，如果表达式 2大于21且3小于2加4减1 成立，那么这个函数值的范围

f x+¥f a + a+ < f a - a+a

围是。

那么 a 是一个幸运值，把所有幸运值按照由低到高的顺序排列出来

a1,a2,a3,L,若an = 2005,则a5n =.

三、解答题（本题满分60 分，每小题 20 分）

745 2 36

an +an -

{a }满足：a0 =1,a 1 =,nÎ N.

nn+2

证明：任取一个自然数n，an是正整数，an与an+1之差加一等于某个整数的平方。

三个，四个，五个，六个，七个，八个，九个，零个，一个，这些小球被随意安放在一个圆的九个均等分布的位置上，每个位置上都放有一个小球。

S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放

如果物体经过转动或者镜像反转，能够和另一种摆放方式完全一致，那么就视为是同一种摆放方式。

在抛物线上取一点 A（1,1），从此点引抛物线的切线，该切线与 x 轴相交于点 D，同时与 y 轴相交于点 C

y = xxy

2  : .

AE lBF l1

点E位于线段AC上，其位置比例等于1；点F位于线段BC上，其位置比例等于2，并且线段EF的长度等于线段l1与线段l2之和，线段CD与线段EF相交

ECFC

交于点 C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.

2005 年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案

二、（本题满分 50 分）

正数 a、b、c、x、y、z 之间存在特定关系,其中 cy 与 bz 的和等于 a,az 与 cx 的和等于 b,而 bx 与 ay 的和则等于 c。

222

( , , )xyz

求函数 f x y z =++的最小值.

1+ x 1+ y 1+ z

三、（本题满分 50 分）

ì0当n为平方数,

( ) ï

对每个正整数n，定义函数 f n = í 1

当n不为平方数.

ï { }

î n

240

其中表示不超过 x 的最大整数，等于 x 减去它的小数部分，试求：所有 f (k) 的值相加的总和。

k=1

2005年全国高中数学联赛解答

一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分）

3  : .

本题共有 6 小题，每小题均给出A，B，C，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的

代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在

括号内），一律得 0 分。

1．使关于 x 的不等式 x-3 + 6- x ³ k有解的实数k 的最大值是（ ）

A． 6 - 3B． 3C． 6 + 3D． 6

2．空间四点 A、B、C、D 满足| AB |= 3,| BC |= 7,| CD |= 11 ,| DA |= 9, 则 AC× BD的取值

（）

A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个

【答案】A

222222

【解析】留意到3 加上11 等于1130, 这个结果也等于7 再加上9, 因此可以推断出AB 与BC 和CD 以及DA 的总和为零, 由此可见DA 的值应该与DA 相同

()2222 2()2

AB相加BC相加CD相加等于AB加上BC加上CD加上AB乘以BC加上BC乘以CD加上CD乘以AB等于AB减去

222222

BC与CD相加，再加上两倍的BC加上AB乘以BC，再加上BC乘以CD，再加上CD乘以AB，等于AB减去BC，再加上CD，再加上两倍的AB，

) (),即22222 0,只有一个值得0，故选A。

长方形的面积加上平行四边形的面积等于大三角形的面积减去小三角形的面积,等于两条线段相乘的结果

三角形DABC被画在半径为1的圆内,角A、角B和角C的角平分线向外延伸,分别与这个圆相交于点A1、点B1和点C1。

cos Acos BcosC

AA1 ×+ BB1 ×+ CC1 ×

222 的值为（）

sin A+ sin B + sin C

A．2B．4C．6D．8

【答案】A

AA+ B +C B C

【解析】如图，连接BA1, 则AA的长度等于2乘以正弦值, 正弦值的参数为B加上某个角度, 这个角度可以表示为加上某个值再减去某个值

1222 2

2cos( B C).

=-

2 2

4  : .

AB CAA+ B -CA+ C - Bpp

AA1余弦等于二倍余弦减去一个余弦等于一个余弦加一个余弦等于余弦减去C加上余弦减去B

22 222222

正弦B,余弦B,正弦C,余弦C,正弦A,余弦A

C 和 B 一样, BB1 等于 A 加 C, CC1 等于 A 加 B, AA1 加上 BB1 的积

222

BC2(sin A+ sin B + sin C)

余弦值与另一余弦值之和等于两倍的正弦值之和,该表达式等同于另等式

22sin A+ sin B + sin C

22

xy

+=1表示的曲线是（）

正弦值乘以二减去正弦值乘以三,余弦值乘以二减去余弦值乘以三

A．焦点在 x轴上的椭圆B．焦点在 x轴上的双曲线

C．焦点在 y轴上的椭圆D．焦点在 y轴上的双曲线

【答案】C

【解析】 2 + 3 > p,\0 < - 2 < 3 - < ,\cos( - 2) > cos( 3 - ), 即

22 222

sin 2 > sin 3.

又0 < 2 < , < 3 < p,\cos 2 > 0,cos 3 < 0,\cos 2 - cos 3 > 0, 方程表示的曲线是椭

2 2

圆。

5  : .

2 - 32 + 3 p

正弦二减正弦三减去余弦二减余弦三等于二乘二乘正弦加正弦乘以括号内K乘K

224

三十二减去三乘以三十二,加上三,再乘以三十三乘以三十二,然后加上三,再乘以三十二